Vicente Bermejo y Juan José Díaz

Universidad Complutense de Madrid

El informe PISA de 2005 ha puesto de manifiesto una vez más los bajos rendimientos matemáticos de los alumnos españoles y mejicanos, haciendo necesario un mayor esfuerzo en el ámbito educativo en general y en la investigación matemática en especial. En esta línea, se sitúa este trabajo, como otros muchos publicados por estos autores.

 

De acuerdo con el marco constructivista, los niños aprenden a resolver problemas aritméticos de una manera activa e informal en un período temprano del desarrollo (tres o cuatro años). Ahora bien, el grado de abstracción de la tarea puede ser un factor importante, que facilite o no, la resolución de estos problemas. Se supone que, en un principio, el niño aprende mejor en un nivel concreto, para más tarde desarrollar su eficacia matemática a niveles más abstractos y complejos.

Aunque es abundante el número de investigaciones realizadas sobre problemas aritméticos en general y más en concreto, sobre la estructura semántica, el grado de dificultad, el nivel evolutivo, las estrategias utilizadas y los errores cometidos por los alumnos (véase, por ejemplo, Bermejo, 1990, 2004); es notoria la escasez de estudios que abordan directamente el grado de abstracción de tales problemas y su incidencia en el rendimiento matemático de los alumnos. Y sin embargo, varias instancias educativas, como la Asociación de la Enseñanza en Matemáticas de Japón y el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas en los Estados Unidos han resaltado la importancia educativa de los niveles de abstracción.

En esta investigación se estudia empíricamente la incidencia del grado de abstracción en la resolución de problemas de suma y resta en los cuatro primeros cursos de Educación Primaria.

La muestra estaba formada por un total de 96 niños mexicanos, 24 alumnos de cada curso, con un rango de edad entre 6 y 10 años, y una relación genérica similar. El procedimiento consistió en presentar a los participantes 16 problemas verbales de cambio; de los que 8 eran de suma y el resto de substracción, preguntándoles al mismo tiempo sobre la estrategia de solución utilizada en la resolución de los mismos. Cada problema se presentó en los cuatro niveles de abstracción siguientes: concreto, pictórico, numérico y verbal.

Entre los resultados obtenidos destacamos los siguientes. Aunque, como era de esperar, los alumnos de los cursos superiores obtienen en general rendimientos más altos que los niños de los cursos inferiores; encontramos un patrón evolutivo diferente para cada curso escolar, según los niveles de abstracción. De este modo, la secuencia de lo concreto a lo abstracto incide de manera desigual en los distintos cursos.

De manera más concreta, los alumnos de cuarto curso encontraron en general demasiado fáciles las tareas propuestas. En cambio, los alumnos de tercero mostraron un desarrollo progresivo a través de los diferentes niveles de abstracción, resultando más difíciles los problemas con objetos, debido probablemente a que la presencia de estos objetos (como podrían ser también los dibujos), pueden funcionar como distractores a este nivel evolutivo, en lugar de facilitar la comprensión del problema planteado. Por su parte, los alumnos de cursos inferiores (primero y segundo) presentaron mejores rendimientos aritméticos en las tareas de problemas verbales y con el uso de materiales concretos, resaltando la importancia de ambos niveles de abstracción para estos grados escolares.

En cuanto a las estrategias utilizadas por los alumnos para resolver los problemas en función del grado de abstracción, se encuentra que las estrategias de modelado directo son más frecuentes en los problemas concretos y con dibujos que en los problemas verbales y numéricos. Igualmente, las estrategias de conteo aparecen principalmente en los niveles concreto, pictórico y verbal en segundo curso; mientras que el nivel numérico se manifiesta especialmente en cuarto curso. Finalmente, las estrategias de tipo numérico son más comunes en el nivel numérico de abstracción.

 

Por tanto, se considera que el grado de abstracción resulta especialmente interesante en los tres cursos inferiores (primero, segundo y tercero), aunque por razones diversas. Los alumnos de tercero muestran un rendimiento matemático progresivo, en función de los niveles de abstracción (concreto à pictórico à numérico à verbal); debido a que a este nivel evolutivo los objetos y dibujos son más bien un distractor, que una ayuda para resolver los problemas planteados. En cambio, la resolución de las tareas numéricas resulta más fácil debido, probablemente, a que este curso ha recibido más instrucción de los algoritmos de suma y resta en el aula.

Por otra parte, los alumnos de primero y segundo presentan un patrón involutivo según los niveles de abstracción mencionados, excepto en los problemas verbales que, junto a los alumnos de tercero obtienen sus mejores rendimientos. Estos últimos resultados se deben probablemente al conocimiento informal y a la familiaridad extraescolar que los niños y niñas tienen en su vida cotidiana con situaciones que recuerdan los problemas verbales.

En cuanto al patrón involutivo antes mencionado, parece claro que los alumnos de primero y segundo curso de Educación Primaria aprenden mejor las matemáticas con la ayuda de objetos o dibujos, que utilizando solamente el algoritmo de ambas operaciones.

Concluyendo, la mejora de la formación matemática de nuestros escolares requiere de la existencia de un puente, que no suele existir, entre investigación y práctica educativa, de modo que los resultados obtenidos en la primera tengan el impacto adecuado en la práctica educativa cotidiana. Cuando se dan las condiciones para que ocurra de este modo, entonces la mejora del rendimiento matemático de los escolares es notoria, tal como puede observarse en la implementación del PEIM (Programa Evolutivo Instruccional para Matemáticas; ver Bermejo y otros, 2002).

Referencias

Bermejo, V. (1990). El niño y la aritmética. Barcelona: Paidós.

Bermejo, V. y otros (2002). PEI: Un programa de intervención para la mejora del rendimiento matemático. Madrid: Ed. Complutense.

Bermejo, V. (Ed). (2004). Cómo enseñar matemáticas para aprender mejor. Madrid: CCS.

El artículo original en el que se basa este trabajo puede encontrarse en la revista The Spanish Journal of Psychology: Bermejo, V. y Díaz J. J. (2007). The degree of abstraction in solving addition and subtraction problems. The Spanish Journal of Psychology, Vol. 10 (2), 285-293.

Sobre los autores:

 

Vicente Bermejo

 

Juan José Díaz

 

Vicente Bermejo, alumno de Piaget y profesor durante seis años en la Universidad de Ginebra (Suiza), es Catedrático de Psicología Evolutiva y de la Educación en la Universidad Complutense de Madrid. Ha publicado en España, Europa, Estados Unidos y Latinoamérica numerosos libros y artículos sobre el desarrollo, dificultades de aprendizaje e intervención en matemáticas.

Juan José Díaz es Doctor en Psicología Escolar y Desarrollo por la Universidad Complutense de Madrid y Profesor investigador en la Unidad Académica de Psicología de la Universidad Autónoma de Zacatecas (México). Su principal línea de investigación versa sobre el aprendizaje en matemáticas, ciencias y lectura.

 

 

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